祖沖之是中國古代一位偉大的數學家和天文學家，生平著作很多，內容也是多方面的。在數學方面的論著，不幸均已失傳。在歷代國內外的各種圖書目錄中，可以見到他所寫的數學著作的書名有“綴術”6卷，“九章算術義注”9卷，“重差注”1卷。在天文歷法方面，他編制成“大明歷”，并為大明歷寫了“駁議”。在古代典籍的注釋方面，祖沖之有“易義”、“老子義”、“莊子易”、“釋論語”、“釋孝經”等著作，但亦均失傳。文學作品方面他著有“述異記”10卷，在“太平御覽”等書中可以看到這部著作的片斷。

從青年時起，祖沖之便對天文學和數學發生了興趣。他把從上古時起直至他生活時代的各種文獻、記錄、資料，幾乎全部搜羅來進行研究，并且親自進行精密的測量和仔細的推算。正像他自己所說的那樣，“親量圭尺，躬察儀漏，目盡毫厘，心窮籌策”。他對劉歆、張衡、鄭玄、闞譯、王番、劉徽等科學家的工作進行了仔細研究，一一駁正了他們的錯誤，導出了許多極有價值的結果。準確到7位有效數學的園周率數值便是人所共知的例子。

圓周率π的計算，標志著一個國家和民族的數學水平。中國古代也和世界上任何文化開發較早的國家和地區一樣，人們最早使用的園周率是3。這一誤差很大的數值一直沿用到漢代。入漢以后，對園周率的改進吸引了不少科學家的注意，都作了一些工作。最為重要的是魏晉時期的數學家劉徽，他用“割園術”計算出的園周率為3.14。

關于祖沖之在圓周率方面的工作，其史料僅見于《隋書·律歷志》中還記載說，祖沖之還給出了圓周率的兩個近似分數值：

密率：π=355/113，小數點后6位準確，
約率：π=22/7，小數點后2位準確。

在歐洲，1100多年后才算得355/113這一數值，被稱為“安東尼茲率”。日本數學家三上義夫在1912年提出應稱π=355/113為“祖率”。

關于祖沖之是如何算得如此精密的結果，沒有任何史料流傳下來，這是非常遺憾的。不過根據當時的情況判斷，祖沖之用的仍是劉徽的“割園術”。果真如此的話，祖沖之需要計算出園內接正12288邊形和正24576邊形的面積，要進行加、減、乘、除、開方等運算達130次以上，每次運算都要精確到9位數字，可以想象，在當時用羅列算籌來計算，是需要何等的精心與超人的毅力。

關于球體體積的計算，是祖沖之及其兒子祖（日桓）在數學方面又一項了不起的成就。祖氏父子根據劉徽在“九章算術注”中擔出的正確方法，求得了球體體積公式

球體積=4/3πγ3。

在導出球體積公式的過程中，祖氏父子總結出了所謂的“祖氏原理”。在西方這一原理被稱為“卡瓦列里原理”，但它的發現者意大利數學家卡瓦列里（B．Cavalieri 1598～1647）比祖氏父子要晚1100多年。

 祖沖之在天文歷法方面的成就,大都包含在他所編制的大明歷和為大明歷所寫的“駁議”中。祖沖之通過精密的觀察測量，發現當時奉行的由前輩著名天文學家何承天所編制的元嘉歷有不少錯誤，于是著手編制大明歷，公元462年編成，時年只有33歲。祖沖之對歷法的編制做出了很多創造性的貢獻，大明歷是這個時代一部最好的歷法，但是卻遭到皇旁寵臣的反對。直到祖沖之死后10年，由于他兒子祖（日桓）的堅決請求，經過實際天象的校驗，大明歷才得以正式頒行。

 祖氏原理      九章算術注     祖率    關于祖沖之在圓周率方面的工作，其史料僅見于《隋書·律歷志》中還記載說，祖沖之還給出了圓周率的兩個近似分數值：

密率：π=355/113，小數點后6位準確，
約率：π=22/7，小數點后2位準確。

祖沖之

祖沖之在天文歷法方面的成就，大都包含在他所編制的《大明歷》及為大明歷所寫的駁議中。
在祖沖之之前，人們使用的歷法是天文學家何承天編制的《元嘉歷》。祖沖之經過多年的觀測和推算，發現《元嘉歷》存在很大的差誤。于是祖沖之著手制定新的歷法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他編制成了《大明歷》。大明歷在祖沖之生前始終沒能采用，直到梁武帝天監九年（公元510年）才正式頒布施行。《大明歷》的主要成就如下：
區分了回歸年和恒星年，首次把歲差引進歷法，測得歲差為45年11月差一度（今測約為70.7年差一度）。歲差的引入是中國歷法史上的重大進步。
定一個回歸年為365.24281481日（今測為365.24219878日），直到南宋寧宗慶元五年（公元1199年）楊忠輔制統天歷以前，它一直是最精確的數據。
采用391年置144閏的新閏周，比以往歷法采用的19年置7閏的閏周更加精密。
定交點月日數為27.21223日（今測為27.21222日）。交點月日數的精確測得使得準確的日月食預報成為可能，祖沖之曾用大明歷推算了從元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年間發生的4次月食時間，結果與實際完全符合。

得出木星每84年超辰一次的結論，即定木星公轉周期為11.858年（今測為11.862年）。
給出了更精確的五星會合周期，其中水星和木星的會合周期也接近現代的數值。

提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至時刻的方法。

為紀念這位偉大的古代科學家，人們將月球背面的一座環形山命名為祖沖之環形山，將小行星1888命名為祖沖之小行星。

史料記載

當時由于南朝社會比較安定，農業和手工業都有顯著的進步，經濟和文化得到了迅速發展，從而也推動了科學的前進。因此，在這一段時期內，南朝出現了一些很有成就的科學家，祖沖之就是其中最杰出的人物之一。

祖沖之的原籍是范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。在西晉末年，祖家由于故鄉遭到戰爭的破壞，遷到江南居住。祖沖之的祖父祖昌，曾在宋朝政府里擔任過大匠卿，負責主持建筑工程，是掌握了一些科學技術知識的；同時，祖家歷代對于天文歷法都很有研究。因此祖沖之從小就有接觸科學技術的機會。

祖沖之對于自然科學和文學、哲學都有廣泛的興趣，特別是對天文、數學和機械制造，更有強烈的愛好和深入的鉆研。早在青年時期，他就有了博學多才的名聲，并且被政府派到當時的一個學術研究機關——華林學省，去做研究工作。后來他又擔任過地方官職。公元461年，他任南徐州（今江蘇鎮江）刺史府里的從事。464年，宋朝政府調他到婁縣（今江蘇昆山縣東北）作縣令。

祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續堅持學術研究，并且取得了很大的成就。他研究學術的態度非常嚴謹。他十分重視古人研究的成果，但又決不迷信古人。用他自己的話來說，就是：決不“虛推（盲目崇拜）古人”，而要“搜煉古今（從大量的古今著作中吸取精華）”。一方面，他對于古代科學家劉歆〔xin欣〕、張衡、闞［kan看］澤、劉徽、劉洪等人的著述都作了深入的研究，充分吸取其中一切有用的東西。另一方面，他又敢于大膽懷疑前人在科學研究方面的結論，并通過實際觀察和研究，加以修正補充，從而取得許多極有價值的科學成果。在天文歷法方面，他所編制的《大明歷》，是當時最精密的歷法。在數學方面，他推算出準確到六位小數的圓周率，取得了當時世界上最優秀的成績。

宋朝末年，祖沖之回到建康（今南京），擔任謁者仆射的官職。從這時起，一直到齊朝初年，他花了較大的精力來研究機械制造，重造指南車，發明千里船、水碓磨等等，作出了出色的貢獻。
當祖沖之晚年的時候，齊朝統治集團發生了內亂，政治腐敗黑暗，人民生活非常痛苦。北朝的魏乘機發大兵向南進攻。

從公元494年到5O0年間，江南一帶又陷入戰火。對于這種內憂外患重重逼迫的政治局面，祖沖之非常關心。大約在公元494年到498年之間，他擔任長水校尉的官職。當時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發展農業，增強國力，安定民生，鞏固國防。齊明帝看到了這篇文章，打算派祖沖之巡行四方，興辦一些有利于國計民生的事業。但是由于連年戰爭，他的建議始終沒有能夠實現。過不多久，這位卓越的大科學家活到七十二歲，就在公元50O年的時候去世了。

祖沖之

我國古代勞動人民，由于畜牧業和農業生產的需要，經過長時期的觀察，發現了日月運行的基本規律。他們把第一次月圓或月缺到第二次月圓或月缺的一段時間規定為一個月，每個月是二十九天多一點，十二個月稱為一年。這種計年方法叫做陰歷。他們又觀察到：從第一個冬至到下一個冬至（實際上就是地球圍繞太陽運行一周的時間）共需要三百六十五天又四分之一天，于是也把這一段時間稱作一年。按照這種辦法推算的歷法通常叫做陽歷。但是，陰歷一年和陽歷一年的天數，并不恰好相等。按照陰歷計算，一年共計三百五十四天；按照陽歷計算，一年應為三百六十五天五小時四十八分四十六秒。陰歷一年比陽歷一年要少十一天多。為了使這兩種歷法的天數一致起來，就必須想辦法調整陰歷一年的天數。對于這個問題，我們的祖先很早就找到了解決的辦法，就是采用“閏月”的辦法。在若干年內安排一個閏年，在每個閏年中加入一個閏月。每逢閏年，一年就有十三個月。由于采用了這種閏年的辦法，陰歷年和陽歷年就比較符合了。

在古代，中國歷法家一向把十九年定為計算閏年的單位，稱為“一章”，在每一章里有七個閏年。也就是說，在十九個年頭中，要有七個年頭是十三個月。這種閏法一直采用了一千多年，不過它還不夠周密、精確。公元412年，北涼趙厞創作《元始歷》，才打破了歲章的限制，規定在六百年中間插入二百二十一個閏月。可惜趙厞的改革沒有引起當時人的注意，例如著名歷算家何承天在公元443年制作《元嘉歷》時，還是采用十九年七間的古法。

祖沖之吸取了趙厞的先進理論，加上他自己的觀察，認為十九年七閏的閏數過多，每二百年就要差一天，而趙厞六百年二百二十一闖的閏數卻又嫌稍稀，也不十分精密。因此，他提出了三百九十一年內一百四十四閏的新閏法。這個閏法在當時算是最精密的了

根據物理學原理，剛體在旋轉運動時，假如絲毫不受外力的影響，旋轉的方向和速度應該是一致的；如果受了外力影響，它的旋轉速度就要發生周期性的變化。地球就是一個表面凹凸不平、形狀不規則的剛體，在運行時常受其他星球吸引力的影響，因而旋轉的速度總要發生一些周期性的變化，不可能是絕對均勻一致的。因此，每年太陽運行一周（實際上是地球繞太陽運行一周），不可能完全回到上一年的冬至點上，總要相差一個微小距離。按現在天文學家的精確計算，大約每年相差50.2秒，每七十一年八個月向后移一度。這種現象叫作歲差。

隨著天文學的逐漸發展，中國古代科學家們漸漸發現了歲差的現象。西漢的鄧平、東漢的劉歆、賈逵等人都曾觀測出冬至點后移的現象，不過他們都還沒有明確地指出歲差的存在。到東晉初年，天文學家虞喜才開始肯定歲差現象的存在，并且首先主張在歷法中引入歲差。他給歲差提出了第一個數據，算出冬至日每五十年退后一度。后來到南朝宋的初年，何承天認為歲差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉歷》中并沒有應用歲差。

祖沖之繼承了前人的科學研究成果，不但證實了歲差現象的存在，算出歲差是每四十五年十一個月后退一度，而且在他制作的《大明歷》中應用了歲差。因為他所根據的天文史料都還是不夠準確的，所以他提出的數據自然也不可能十分準確。盡管如此，祖沖之把歲差應用到歷法中，在天文歷法史上卻是一個創舉，為我國歷法的改進揭開了新的一頁。到了隋朝以后，歲差已為很多歷法家所重視了，象隋朝的《大業歷》、《皇極歷》中都應用了歲差。

第三個巨大貢獻

祖沖之

所謂交點月，就是月亮連續兩次經過“黃道”和“白道”的交叉點，前后相隔的時間。黃道是指我們在地球上的人看到的太陽運行的軌道，白道是我們在地球上的人看到的月亮運行的軌道。交點月的日數是可以推算得出來的。祖沖之測得的交點月的日數是27.21223日，比過去天文學家測得的要精密得多，同近代天文學家所測得的交點月的日數27.21222日已極為近似。在當時天文學的水平下，祖沖之能得到這樣精密的數字，成績實在驚人。

由于日蝕和月蝕都是在黃道和白道交點的附近發生，所以推算出交點月的日數以后，就更能準確地推算出日蝕或月蝕發生的時間。祖沖之在他制訂的《大明歷》中，應用交點月推算出來的日、月蝕時間比過去準確，和實際出現日、月蝕的時間都很接近。

祖沖之根據上述的研究成果，終于成功制成了當時最科學、最進步的歷法——《大明歷》。這是祖沖之科學研究的天才結晶，也是他在天文歷法上最卓越的貢獻。

此外，祖沖之對木、水、火、金、土等五大行星在天空運行的軌道和運行一周所需的時間，也進行了觀測和推算。我國古代科學家算出木星（古代稱為歲星）每十二年運轉一周。西漢劉歆作《三統歷》時，發現木星運轉一周不足十二年。祖沖之更進一步，算出木星運轉一周的時間為11．858年。現代科學家推算木星運行的周期約為11.862年。祖沖之算得的結果，同這個數字僅僅相差O.O4年。此外，祖沖之算出水星運轉一周的時間為115.88日，這同近代天文學家測定的數字在兩位小數以內完全一致。他算出金星運轉一周的時間為583.93日，同現代科學家測定的數字僅差O.O1日。

公元462年（宋大明六年），祖沖之把精心編成的《大明歷》送給政府，請求公布實行。宋孝武帝命令懂得歷法的官員對這部歷法的優劣進行討論。在討論過程中，祖沖之遭到了以戴法興為代表的守舊勢力的反對。戴法興是宋孝武帝的親信大臣，很有權勢。由于他帶頭反對新歷，朝廷大小官員也隨聲附和，大家不贊成改變歷法。

堅持自己的正確主張,同戴法興激烈的辯論

這一場關于新歷法優劣的辯論，實際上反映了當時科學和反科學、進步和保守兩種勢力的尖銳斗爭。戴法興首先上書皇帝，從古書中抬出古圣先賢的招牌來壓制祖沖之。他說，冬至時的太陽總在一定的位置上，這是古圣先賢測定的，是萬世不能改變的。他說，祖沖之以為冬至點每年有稍微移動，是誣蔑了天，違背了圣人的經典。是一種大逆不道的行為。他又把當時通行的十九年七闖的歷法，也說是古圣先賢所制定，永遠不能更改。他甚至罵祖沖之是淺陋的凡夫俗子，沒有資格談改革歷法。

祖沖之對權貴勢力的攻擊絲毫沒有懼色。他寫了一篇有名的駁議。他根據古代的文獻記載和當時觀測太陽的記錄，證明冬至點是有變動的。他指出：事實十分明白，怎么可以信古而疑今。他又詳細地舉出多年來親自觀測冬至前后各天正午日影長短的變化，精確地推算出冬至的日期和時刻，從此說明十九年七閏是很不精密的。他責問說：舊的歷法不精確，難道還應當永遠用下去，永遠不許改革？誰要說《大明歷》不好，應當拿出確鑿的證據來。如果有證據，我愿受過。

當時戴法興指不出新歷到底有哪些缺點，于是就爭論到日行快慢、日影長短、月行快慢等等問題上去。祖沖之一項一項地據理力爭，都駁倒了他。

在祖沖之理直氣壯的駁斥下，戴法興沒話可以答辯了，竟蠻不講理地說：“新歷法再好也不能用。”祖沖之并沒有被戴法興這種蠻橫態度嚇倒，卻堅決地表示：“決不應該盲目迷信古人。既然發現了舊歷法的缺點，又確定了新歷法有許多優點，就應當改用新的。”

在這場大辯論中，許多大臣被祖沖之精辟透徹的理論說服了，但是他們因為畏懼戴法興的權勢，不敢替祖沖之說話。最后有一個叫巢尚之的大臣出來對祖沖之表示支持。他說《大明歷》是祖沖之多年研究的成果，根據《大明歷》來推算元嘉十三年（436）、十四年、二十八年、大明三年（459）的四次月蝕都很準確，用舊歷法推算的結果誤差就很大，《大明歷》既然由事實證明比較好，就應當采用。

這樣一來，戴法興只有啞口無言。祖沖之取得了最后勝利。宋孝武帝決定在大明九年（465）改行新歷。誰知大明八年孝武帝死了，接著統治集團內發生變亂，改歷這件事就被擱置起來。一直到梁朝天監九年（51O），新歷才被正式采用，可是那時祖沖之已去世十年了。

祖沖之不但精通天文、歷法，他在數學方面的貢獻，特別對“圓周率”研究的杰出成就，更是超越前代，在世界數學史上放射著異彩。

史料記載

圓周率就是圓的周長和同一圓的直徑的比，這個比值是一個常數，現在通用希臘字母"π"來表示。圓周率是一個永遠除不盡的無窮小數，它不能用分數、有限小數或循環小數完全準確地表示出來。由于現代數學的進步，已計算出了小數點后兩千多位數字的圓周率。

圓周率的應用很廣泛。尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。我國古代勞動人民在生產實踐中求得的最早的圓周率值是“3"，這當然很不精密，但一直被沿用到西漢。后來，隨著天文、數學等科學的發展，研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄“3"這個不精確的圓周率值，他曾經采用過的圓周率是3.547。東漢的張衡也算出圓周率為**=3.1622。這些數值比起π=3當然有了很大的進步，但是還遠遠不夠精密。到了三國末年，數學家劉徽創造了用割圓術來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進展。

用割圓術來求圓周率的方法，大致是這樣：先作一個圓，再在圓內作一內接正六邊形。假設這圓的直徑是2，那末半徑就等于1。內接正六邊形的一邊一定等于半徑，所以也等于1；它的周長就等于6。如果把內接正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑2去除，得到周長與直徑的比π=6/2=3，這就是古代π=3的數值。但是這個數值是不正確的，我們可以清楚地看出內接正六邊形的周長遠遠小于圓周的周長。

如果我們把內接正六邊形的邊數加倍，改為內接正十二邊形，再用適當方法求出它的周長，那么我們就可以看出，這個周長比內按正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這里就可以得到這樣一個結論：圓內所做的內接正多邊形的邊數越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講，如果內接正多邊形的邊數增加到無限多時，那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在一起，從此計算出來的內接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了。不過事實上，我們不可能把內接正多邊形的邊數增加到無限多，而使這無限正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內接正多邊形的邊數，使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內接正多邊形邊數的辦法求圓周率，得數永遠稍小于π的真實數值。劉徽就是根據這個道理，從圓內接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，一直計算到內接正九十六邊形為止，求得了圓周率是3.141O24。把這個數化為分數，就是157/50

劉徽所求得的圓周率，后來被稱為“徽率”。他這種計算方法，實際上已具備了近代數學中的極限概念。這是我國古代關于圓周率的研究的一個光輝成就。

祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據《隋書?律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒數（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數之間。《隋書》只有這樣簡單的記載，沒有具體說明他是用什么方法計算出來的。不過從當時的數學水平來看，除劉徽的割圓術外，還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是采用了這種方法。因為采用劉徽的方法，把圓的內接正多邊形的邊數增多到24576邊時，便恰好可以得出祖沖之所求得的結果。

盈朒兩數可以列成不等式，如：3.1415926（*）＜π（真實的圓周率）＜3.1415927（盈），這表明圓周率應在盈朒兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還采用了兩個分數值的圓周率。一個是355/119（約等于3.1415927），這一個數比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是了（約等于3.14），這一個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。在歐洲，直到1573年才由德國數學家渥脫求出了355/119這個數值。因此，日本數學家三上義夫曾建議把355/119這個圓周率數值稱為“祖率”，來紀念這位中國的大數學家。

由于祖沖之所著的數學專著《綴術》已經失傳，《隋書》又沒有具體地記載他求圓周率的方法，因此，我國研究祖國數學遺產的專家們，對于他求圓周率的方法還有不同的見解。

有人認為祖沖之圓周率中的“朒數”。是用作圓的內接正多邊形的方法求得的；而“盈數”則是用作圓的外切正多邊形的方法求得的。祖沖之如果繼續用劉徽的辦法，從圓的內接正六邊形算起，逐次加倍邊數，一直算到內接正24576邊形時，它的各邊長度總和只能逐次接近并較小于圓周的周長，這正多邊形的面積也只能逐次接近并較小于圓面積，從此求出的圓周率為3.14159261，也只能小于圓周率的真實數值，這就是朒數。從祖沖之的數學水平來看，突破劉徽的方法，從外切正六邊形算起，逐次試求圓周率，也是可能的。如果祖沖之把外切正六邊形的邊數成倍增加，到正24576邊形時，他所求得的圓周率應該是3.1415927O2O8。這個數是用外切方法求得的。由于外切正多邊形各邊邊長的總和永遠大于圓周的長度，這正多邊形的面積也永遠大于圓面積，所以這個數總比真實的圓周率大。用四舍五入法舍去小數點七位以后的數字，就得出盈數。

祖沖之究竟是否同時用過內接和外切這兩個方法求出圓周率的朒數和盈數，是沒有確切史料可以證實的。但是采用這個辦法所求出的朒、盈兩個數值，和祖沖之原來所求出的結果大體是一致的。所以有些數學史家認為祖沖之曾用過作圓的外切正多邊形的方法求得圓周率，是很近情理的推想。

但是根據另一些數學史家的研究，盈、朒兩數也可以由計算圓內接正12288邊形和正24576邊形的邊長而得出來。不過這種計算比較難懂，這里不說了。

盡管說法有出入，但是祖沖之曾經求得“密率”，并且明確地用上、下兩限來說明圓周率這個數值的范圍，是可以肯定的。在一千五百年前，他有這樣的成就和認識，真值得我們欽佩。

在推算圓周率時，祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動。如果從正六邊形算起，算到24576邊時，就要把同一運算程序反復進行十二次，而且每一運算程序又包括加減乘除和開方等十多個步驟。我們現在用紙筆算盤來進行這樣的計算，也是極其吃力的。當時祖沖之進行這樣繁難的計算，只能用籌碼（小竹棍）來逐步推演。如果頭腦不是十分冷靜精細，沒有堅韌不拔的毅力，是絕對不會成功的。祖沖之頑強刻苦的研究精神，是很值得推崇的。

祖沖之死后，他的兒子祖暅［xuan玄〕繼續父親的研究，進一步發現了計算圓球體積的方法。

在我國古代數學著作《九章算術》中，曾列有計算圓球體積的公式，但很不精確。劉徽雖然曾經指出過它的錯誤，但究竟應當怎樣計算，他也沒有求得解決。經祖暅刻苦鉆研，終于找到了正確的計算方法。他所推算出的計算圓球體積的公式是：圓球體積=π/cD（D代表球體直徑）。這個公式一直到今天還被人們采用著。

祖沖之還曾寫過《綴術》五卷，是一部內容極為精采的數學書，很受人們重視。唐朝的官辦學校的算學科中規定：學員要學《綴術》四年；政府舉行數學考試時，多從《綴術》中出題。后來這部書曾經傳到朝鮮和日本。可惜到了北宋中期，這部有價值的著作竟失傳了。

指南車

指南車是一種用來指示方向的車子。車中裝有機械，車上裝有木人。車子開行之前，先把木人的手指向南方，不論車子怎樣轉彎，木人的手始終指向南方不變。這種車子結構已經失傳，但是根據文獻記載，可以知道它是利用齒輪互相帶動的結構制成的。相傳遠古時代黃帝對蚩尤作戰，曾經使用過指南車來辨別方向，但這不過是一種傳說。根據歷史文獻記載，三國時代的發明家馬鈞曾經制造過這種指南車，可惜后來失傳了。公元417年東晉大將劉裕（也就是后來宋朝的開國皇帝）進軍至長安時，曾獲得后秦統治者姚興的一輛舊指南車，車子里面的機械已經散失，車子行走時，只能由人來轉動木人的手，使它指向南方。后來齊高帝蕭道成就令祖沖之仿制。祖沖之所制指南車的內部機件全是銅的。制成后，蕭道成就派大臣王僧虔、劉休兩人去試驗，結果證明它的構造精巧，運轉靈活，無論怎樣轉彎，木人的手常常指向南方。

當祖沖之制成指南車的時候，北朝有一個名叫索馭驎的來到南朝，自稱也會制造指南車。于是蕭道成也讓他制成一輛，在皇宮里的樂游苑和祖沖之所制造的指南車比賽。結果祖沖之所制的指南車運轉自如，索馭驎所制的卻很不靈活。索馭驎只得認輸，并把自己制的指南車毀掉了。祖沖之制造的指南車，我們雖然已無法看到原物，但是由這件事可以想象，它的構造一定是很精巧的。

祖沖之也制造了很有用的勞動工具。他看到勞動人民舂米、磨粉很費力，就創造了一種糧食加工工具，叫作水碓磨。古代勞動人民很早就發明了利用水力著米的水礁和磨粉的水磨。西晉初年，杜預曾經加以改進，發明了“連機碓”和“水轉連磨”。一個連機碓能帶動好幾個石杵一起一落地舂米；一個水轉連磨能帶動八個磨同時磨粉。祖沖之又在這個基礎上進一步加以改進，把水碓和水磨結合起來，生產效率就更加提高了。這種加工工具，現在我國南方有些農村還在使用著。

祖沖之還設計制造過一種千里船。它可能是利用輪子激水前進的原理造成的，一天能行一百多里。

祖沖之

祖沖之還根據春秋時代文獻的記載，制了一個“欹器”，送給齊武帝的第二個兒子蕭子良。欹器是古人用來警誡自滿的器具。器內沒有水的時候，是側向一邊的。里面盛水以后，如果水量適中，它就豎立起來；如果水滿了，它又會倒向一邊，把水潑出去。這種器具，晉朝的學者杜預曾試制三次，都沒有成功；祖沖之卻仿制成功了。由此可見，祖沖之對各種機械都有深刻的研究。

祖沖之的成就不僅限于自然科學方面，他還精通樂理．對于音律很有研究。此外，祖沖之又著有《易義》、《老子義》、《莊子義》、《釋論語》等關于哲學的書籍，都已經失傳了。

祖沖之的兒子祖暅，也是一位杰出的數學家，他繼承他父親的研究，創立了球體體積的正確算法。在天文方面，他也能繼承父業。他曾著《天文錄》三十卷，《天文錄經要訣》一卷，可惜這些書都失傳了。他父親制定的《大明歷》，就是經他三次向梁朝政府建議，才被正式采用的。他還制造過記時用的漏壺造得很準確，并且作過一部《漏刻經》。

祖沖之在天文、歷法、數學以及機械制造等方面的輝煌成就，充分表現了我國古代科學的高度發展水平。

祖沖之所以能夠取得這樣輝煌的成就，并不是偶然的。首先，當時社會生產正在逐步發展，需要有一定的科學成就來配合前進，因而就推動了科學的進步，祖沖之就在這時候取得了天文、數學和器械制造等方面的成績。其次，從上古到這時候，在千百年的長時期中，已積累了不少科學成果，祖沖之就在前人創造的基礎上做出了他的成績。至于祖沖之個人的認真學習，刻苦鉆研，不迷信古人，不畏懼守舊勢力，不怕斗爭，不避艱難，自然也都是取得杰出成就的重要原因。

祖沖之不僅是中國歷史上杰出的科學家，而且在世界科學發展史上也有崇高的地位。祖沖之創造“密率”，是世界聞名的。我們應該紀念像祖沖之這樣的科學家，珍視他們的寶貴遺產。

《隋書?經籍志》錄有《長水校尉祖沖之集》五十一卷，但現已遺佚。
散見于各種史籍記載的還有以下著作：
《安邊論》，佚。
《述異記》十卷，佚。
《易老莊義釋》，佚。
《論語孝經注》，佚。
《綴術》六卷，佚。
《九章算術義注》九卷，佚。
《重差注》一卷，佚。
《大明歷》
《上大明歷表》
《駁議》
《開立圓術》

祖沖之生平著作很多，內容也是多方面的。在數學方面，所著《綴術》一書，是著名的“算經十書”之一，被唐代國子監列為算學課本，規定學習四年，惜已失傳。在天文歷法方面，他編制成《大明歷》 ，并為大明歷寫了“駁議”。在古代典籍的注釋方面，祖沖之有《易義》、《老子義》、《莊子義》、《釋論語》、《釋孝經》等著作，但亦皆失傳。文學作品方面他著有《述異記》，在《太平御覽》等書中可以看到這部著作的片斷。
《綴術》一書，匯集了祖沖之父子的數學研究成果。這本書內容深奧，以至“學官莫能究其深奧，故廢而不理”。《綴術》在唐代被收入《算經十書》，成為唐代國子監算學課本，當時學習《綴術》需要四年的時間，可見《綴術》的艱深。《綴術》曾經傳至朝鮮，但到北宋時這部書就已軼失。

祖沖之

什么是圓周率呢？圓有它的圓周和圓心，從圓周任意一點到圓心的距離稱為半徑，半徑加倍就是直徑。直徑是一條經過圓心的線段，圓周是一條弧線，弧線是直線的多少倍，在數學上叫做圓周率。簡單說，圓周率就是圓的周長與它直徑之間的比，它是一個常數，用希臘字母“π”來表示，為算式355÷113所得。在天文歷法方面和生產實踐當中，凡是牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。

如何正確地推求圓周率的數值，是世界數學史上的一個重要課題。中國古代數學家們對這個問題十分重視，研究也很早。在《周髀算經》和《九章算術》中就提出徑一周三的古率，定圓周率為三，即圓周長是直徑長的三倍。此后，經過歷代數學家的相繼探索，推算出的圓周率數值日益精確。西漢末年劉歆在為王莽設計制作圓形銅斛（一種量器）的過程中，發現直徑為一、圓周為三的古率過于粗略，經過進一步的推算，求得圓周率的數值為3.1547。東漢著名科學家張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時，數學家王蕃推算出的圓周率數值為3.155。魏晉之際的著名數學家劉徽在為《九章算術》作注時創立了新的推算圓周率的方法——割圓術。他設圓的半徑為1，把圓周六等分，作圓的內接正六邊形，用勾股定理求出這個內接正六邊形的周長；然后依次作內接十二邊形，二十四邊形……，至圓內接一百九十二邊形時，得出它的邊長和為6.282048，而圓內接正多邊形的邊數越多，它的邊長就越接近圓的實際周長，所以此時圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14；并且說明這個數值比圓周率實際數值要小一些。在割圓術中，劉徽已經認識到了現代數學中的極限概念。他所創立的割圓術，是探求圓周率數值的過程中的重大突破。后人為紀念劉徽的這一功績，把他求得的圓周率數值稱為“徽率”或稱“徽術”。
　　

劉徽以后，探求圓周率有成就的學者，先后有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數值為3.1428；皮延宗求出圓周率值為22／7≈3.14。以上的科學家都為圓周率的研究推算做出了很大貢獻，可是和祖沖之的圓周率比較起來，就遜色多了。
　　

祖沖之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但并未達到精確的程度，于是他進一步精益鉆研，去探求更精確的數值。它研究和計算的結果，證明圓周率應該在3.1415926和3.1415927之間。他成為世界上第一個把圓周率的準確數值計算到小數點以后七位數字的人。直到一千年后，這個記錄才被阿拉伯數學家阿爾?卡西和法國數學家維葉特所打破。祖沖之提出的“密率”，也是直到一千年以后，才由德國稱之為“安托尼茲率”，還有別有用心的人說祖沖之圓周率是在明朝末年西方數學傳入中國后偽造的。這是有意的捏造。記載祖沖之對圓周率研究情況的古籍是成書于唐代的史書《隋書》，而現傳的《隋書》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他現傳版本一樣的關于祖沖之圓周率的記載，事在明朝末年前三百余年。而且還有不少明朝之前的數學家在自己的著作中引用過祖沖之的圓周率，這些事實都證明了祖沖之在圓周率研究方面卓越的成就。
　　

那么，祖沖之是如何取得這樣重大的科學成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基礎之上的。從當時的數學水平來看，祖沖之很可能是繼承了劉徽所創立和首先使用的割圓術，并且加以發展，因此獲得了超越前人的重大成就。在前面，我們提到割圓術時已經知道了這樣的結論：圓內接正n邊形的邊數越多，各邊長的總和就越接近圓周的實際長度。但因為它是內接的，又不可能把邊數增加到無限多，所以邊長總和永遠小于圓周。
　　

祖沖之按照劉徽的割圓術之法，設了一個直徑為一丈的圓，在圓內切割計算。當他切割到圓的內接一百九十二邊形時，得到了“徽率”的數值。但他沒有滿足，繼續切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內接正多邊形的邊長。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那么圓周小于3.1415927、大大不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計算和實際應用。要作出這樣精密的計算，是一項極為細致而艱巨的腦力勞動。在祖沖之那個時代，算盤還未出現，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數目，叫做籌算法。如果計算數字的位數越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進行新的計算；只能用筆記下計算結果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現了錯誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數值，就需要對九位有效數字的小數進行加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復進行十幾次，開方運算有50次，最后計算出的數字達到小數點后十六、七位。今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是一件輕而易舉的事。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經常地重新擺放數以萬計的算籌，這是一件多么艱辛的事情，而且還需要日復一日地重復這種狀態，一個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。

這一光輝成就，也充分反映了中國古代數學高度發展的水平。祖沖之，不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各國科學界人士的推崇。1960年，蘇聯科學家們在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有貢獻的科學家的名字，來命名那上面的山谷，其中有一座環形山被命名為“祖沖之環形山”。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究過度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。

古代有一種量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，那這種量器的容積有多大呢？要想求出這個數值，就要用到圓周率。祖沖之利用他的研究，求出了精確的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”（另一種量器，與上面提到的都是類似于現在我們所用的“升”等量器，但它們都是圓柱體。），由于劉歆所用的計算方法和圓周率數值都不夠準確，所以他所得到的容積值與實際數值有出入。祖沖之找到他的錯誤所在，利用“祖率”校正了數值。為人們的日常生活提供了方便。以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數值。祖沖之在前人的基礎上，經過刻苦鉆研，反復演算，將圓周率推算至小數點后7位數，并得出了圓周率分數形式的近似值。祖沖之究竟用什么方法得出這一結果，現在無從查考；如果設想他按劉徽的“割圓術”方法去求的話，就要計算到圓內接16000多邊形，這需要花費多少時間和付出多么巨大的勞動啊！
　　

祖沖之

據《隋書?律歷志》記載，祖沖之以一忽（一丈的一億分之一）為單位，求直徑為一丈的圓的周長，求得盈數為3.1415927、肭數為3.1415926，圓周率的真值介于盈肭兩數之間。《隋書》沒有具體說明祖沖之是用什么方法計算出盈肭兩數的。一般認為，祖沖之采用的是劉徽的割圓術，但也有別的多種猜測。這兩個近似值準確到小數第7位，是當時世界上最先進的成就。直到一千多年以后，15世紀阿拉伯數學家卡西和16世紀法國數學家F.韋達才得到更精確的結果。祖沖之確定了π的兩個漸近分數，約率22/7和密率355/113。其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世紀才由德國人V.奧托發現。它是三個成對奇數113355再折兩段組成，優美、規整、易記。為了紀念祖沖之的杰出貢獻，有些外國數學史家把圓周率π的密率叫做“祖率”。

祖沖之在數學領域的成就，只是中國古代數學成就的一個方面。實際上，14世紀以前中國一直是世界上數學最為發達的國家之一。比如幾何中的勾股定理，在中國早期的數學專著《周髀算經》（大約于公元前2世紀成書）中即有論述；成書于公元1世紀的另一本重要的數學專著《九章算術》，在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；13世紀時，中國就已經有了十次方程的解法，而直到16世紀，歐洲才提出三次方程的解法。

祖沖之還與他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算。他們當時采用的一條原理是：“冪勢既同，則積不容異。”意即：位于兩平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等。在西方被稱為“卡瓦列利原理”，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）發現的。為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，數學上也稱這一原理為“祖暅原理”。

祖暅原理也就是“等積原理”。它是由中國南北朝杰出的數學家、祖沖之的兒子祖暅首先提出來的。祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。

祖沖之的兒子祖暅也是中國古代著名數學家。小時習學家傳的學業，深入研究的十分精細，也有靈巧的心思。技藝達到神妙的境地，就是古代傳說中的魯班和倕（傳說為舜時的巧匠）這樣的巧匠也難以超過他。當他思考到深入之處時，雷霆之聲也難以入耳。曾經在走路時遇到仆射徐勉，頭竟撞到了徐勉身上，徐勉呼叫他才覺察到他的存在。他的父親所改定的何承天的歷法當時尚未施行，梁武帝天監初年，祖暅之又重新加以修訂，在這時才開始施行。職位至太舟卿。

祖沖之

祖沖之字文遠，范陽遒人也。曾祖臺之，晉侍中。祖昌，宋大匠卿。父朔之，奉朝請。
沖之稽古，有機思，宋孝武使直華林學省，賜宅宇車服。解褐南徐州從事、公府參軍。
始元嘉中，用何承天所制歷，比古十一家為密。沖之以為尚疏，乃更造新法，上表言之。孝武令朝士善歷者難之，不能屈。會帝崩不施行。
歷位為婁縣令，謁者仆射。初，宋武平關中，得姚興指南車，有外形而無機杼，每行，使人于內轉之。升明中，齊高帝輔政，使沖之追修古法。沖之改造銅機，圓轉不窮，而司方如一，馬鈞以來未之有也。時有北人索馭驎者亦云能造指南車，高帝使與沖之各造，使于樂游苑對共校試，而頗有差僻，乃毀而焚之。晉時杜預有巧思，造欹器，三改不成。永明中，竟陵王子良好古，沖之造欹器獻之，與周廟不異。文惠太子在東宮，見沖之歷法，啟武帝施行。文惠尋薨又寢。
轉長水校尉，領本職。沖之造安邊論，欲開屯田，廣農殖。建武中，明帝欲使沖之巡行四方，興造大業，可以利百姓者，會連有軍事，事竟不行。
沖之解鍾律博塞，當時獨絕，莫能對者。以諸葛亮有木牛流馬，乃造一器，不因風水，施機自運，不勞人力。又造千里船，于新亭江試之，日行百馀里。于樂游苑造水碓磨，武帝親自臨視。又特善算。永元二年卒，年七十二。著易老莊義，釋論語、孝經，注九章，造綴述數十篇。子暅之。
暅之字景爍，少傳家業，究極精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕無以過也。當其詣微之時，雷霆不能入。嘗行遇仆射徐勉，以頭觸之，勉呼乃悟。父所改何承天歷時尚未行，梁天監初，暅之更修之，于是始行焉。位至太舟卿。
暅之子皓，志節慷慨，有文武才略。少傳家業，善算歷。大同中為江都令，后拜廣陵太守。
侯景陷臺城，皓在城中，將見害，乃逃歸江西。百姓感其遺惠，每相蔽匿。廣陵人來嶷乃說皓曰：“逆豎滔天，王室如毀，正是義夫發憤之秋，志士忘軀之日。府君荷恩重世，又不為賊所容。今逃竄草間，知者非一，危亡之甚，累棋非喻。董紹先雖景之心腹，輕而無謀，新克此州，人情不附，襲而殺之，此一壯士之任耳。今若糾率義勇，立可得三二百人。意欲奉戴府君，剿除兇逆，遠近義徒，自當投赴。如其克捷，可立桓、文之勛；必天未悔禍，事生理外，百代之下，猶為梁室忠臣。若何？”皓曰：“仆所愿也，死且甘心。”為要勇士耿光等百余人襲殺景兗州刺史董紹先，推前太子舍人蕭勉為刺史，結東魏為援。馳檄遠近，將討景。景大懼，即日率侯子鑒等攻之。城陷，皓見執，被縛射之，箭遍體，然后車裂以徇。城中無少長，皆埋而射之。